关于 Becker 扩张的存在性

J. Becker 的一个著名定理指出：若单位圆盘 $\mathbb{D}$ 中的规范化单叶函数 $f$ 可作为初值嵌入到 Loewner 链 $(f_t)_{t\geqslant 0}$ 中，使得 Loewner--Kufarev PDE 中的 Herglotz 函数 $p$ $$\partial f_t(z)/\partial f=zf'_t(z)p(z,t),\qquad z\in\mathbb{D},\quad\mathrm{a.e.}~t\ge0,$$ 满足 $\big|(p(z,t)-1)/(p(z,t)+1)\big|\le k<1$，则 $f$ 容许一个 $k$-q.c.（“=$k$-拟共形”）扩张 $F:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$。其逆不真。然而，一个简单的论证表明：若 $f$ 具有 $q$-q.c. 扩张且 $q\in(0,1/6)$，则 Becker 条件以 $k:=6q$ 成立。本文处理如下问题：求最大的 $k_*\in(0,1]$，使得对任意 $q\in(0,k_*)$ 存在 $k_0(q)\in(0,1)$，满足每个具有到 $\mathbb C$ 的 $q$-q.c. 扩张的规范化单叶函数 $f:\mathbb D\to\mathbb C$ 都以 $k:=k_0(q)$ 满足 Becker 条件。我们证明 $k_*\ge1/3$。