论交换环的因子拓扑

设 $R$ 为一个整环，$R^{\#}$ 为 $R$ 中所有非零非单位元的集合。对于任意元素 $a,b\in R^{\#}$，定义 $a\sim b$ 当且仅当 $aR=bR$，即 $a$ 和 $b$ 是相伴元素。假设 $EC(R^{\#})$ 是 $R^{\#}$ 根据 $\sim$ 划分的所有等价类的集合。对于每个 $a\in R^{\#}$，令 $U_{a}=\{[b]\in EC(R^{\#}):b\ \text{整除}\ a\}$。然后我们证明族 $\{U_{a}\}_{a\in R^{\#}}$ 构成了 $EC(R^{\#})$ 上一个拓扑的基。该拓扑称为 $R$ 的因子拓扑，记为 $D(R)$。我们研究了 $R$ 的代数性质与 $D(R)$ 的拓扑性质之间的联系。特别地，我们研究了 $D(R)$ 上的分离公理、第一和第二可数公理、连通性以及紧致性。我们证明了，对于原子整环 $R$，因子拓扑 $D(R)$ 是一个 Baire 空间。此外，我们根据 $D(R)$ 的嵌套性质刻画了赋值环 $R$。在最后一节中，我们利用拓扑 $D(R)$ 给出了唯一因子分解环（UFD）和整数中素元无限性的一个新的拓扑证明。