论维数稳定的测度空间

本文定义了具有维数稳定性 $\beta \in (0,d)$ 的测度空间 $DS_\beta(\mathbb{R}^d)$。这些空间桥接了有限 Radon 测度空间 $M_b(\mathbb{R}^d)$ 与实 Hardy 空间 $DS_d(\mathbb{R}^d)= \mathrm{H}^1(\mathbb{R}^d)$。我们证明了对 $\beta \in (0,d]$，空间 $DS_\beta(\mathbb{R}^d)$ 支持 Sobolev 不等式，而对任意 $\beta \in [0,d]$，我们证明了 $DS_\beta(\mathbb{R}^d)$ 中元素的下 Hausdorff 维数至少为 $\beta$。