自由群在 Cantor 集上的对角作用

我们研究由 $\varphi_a=\partial_a\times\alpha,\varphi_b=\partial_b\times\beta$ 给出的对角作用 $\varphi:\mathbb{F}_2\curvearrowright\partial\mathbb{F}_2\times K$ 在 Cantor 集上。在对 $\alpha,\beta$ 的某些限制下，我们计算 $K_*(C(\partial\mathbb{F}_2\times K)\rtimes_r\mathbb{F}_2)$。作为应用，在 $\alpha$ 为 Cantor 集上的 Denjoy 同胚且 $\beta=id$ 的情形，我们将证明 $C(\partial\mathbb{F}_2\times K)\rtimes_r\mathbb{F}_2$ 是 Kirchberg 代数，且 $K_*(C(\partial\mathbb{F}_2\times K)\rtimes_r\mathbb{F}_2)=(\mathbb{Z}^\infty,\mathbb{Z}^\infty)$。我们还将验证 Cantor 集上由 Denjoy 同胚给出的 $C^*$-叉积是由加权移位生成的 $C^*$-代数，即 $C(K)\rtimes\mathbb{Z}\cong C^*(T_x)$，其中 $x\in \{1,2\}^\mathbb{Z}$ 为双边 Fibonacci 序列。