关于 Jordan 代数中的交换 $U$-算子

最近，J.A. Anquela、T. Cortés 和 H. Petersson 证明了对于非退化 Jordan 代数 $J$ 中的元素 $x, y$，关系 $x \circ y = 0$ 意味着 $x$ 和 $y$ 的 $U$-算子交换：$U_xU_y = U_yU_x$。我们表明，如果没有关于 $J$ 非退化的假设，该结果可能不成立。我们还给出了线性 Jordan 代数情形下（即当 $char\, F\neq 2$ 时）上述结果的一个更简单的证明。