关于交换整数矩阵

给定 $d, N \in \mathbb{N}$，我们定义 $\mathfrak{C}_d(N)$ 为满足 $AB = BA$ 的 $d \times d$ 矩阵对 $(A,B)$ 的个数，其中矩阵元素在 $[-N,N] \cap \mathbb{Z}$ 中。我们证明了 $$N^{10} \ll \mathfrak{C}_3(N) \ll N^{10},$$ 从而确认了 Browning-Sawin-Wang 的猜测。我们进一步证明了 $$\mathfrak{C}_2(N) = K(2N+1)^5 (1 + o(1)),$$ 其中 $K>0$ 为显式常数。我们的 метод完全是初等的，依赖于对受限除数相关性进行正确数量级的上界估计。