关于等熵欧拉系统 $C^1$ 解的爆破

本文中，我们研究多维等熵欧拉系统光滑与连续解的破裂。Sideris [Comm. Math. Phys. 1985] 证明了当初始数据满足一“积分条件”时光滑解的爆破。我们证明等熵欧拉方程的 $C^1$ 解在以下情形破裂：(i) 初始速度梯度在某点 $x_0\in\mathbb{R}^d$ 具有负实特征值，且 (ii) 初始密度的 Hessian 在 Sobolev 空间中满足一小性条件。我们的证明对不满足上述“积分条件”的数据同样适用。此外，我们证明当 (i) 初始速度梯度的特征值具有非负实部，且 (ii) 初始密度满足一小性条件时，光滑解的全局存在性。这推广了 [Grassin, Indiana Univ. Math. J. 1998] 的全局存在结果。本文另一目标是研究等熵欧拉方程连续弱解的破裂。我们能够证明 Sideris 的“积分条件”可导致连续解在有限时间内破裂。这将 Sideris 的爆破结果由 $C^1$ 空间改进至连续空间。