沿凸辛路径的特征值分支

我们考虑 $2n\times 2n$ 实辛矩阵空间中的一条连续可微曲线 $t\mapsto \gamma(t)$，它是以下常微分方程的解：$\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t}(t)=J_{2n}A(t)\gamma(t), \gamma(0)\in\operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R})$，其中 $J=J_{2n}\overset{\text{def}}{=}\begin{bmatrix}0 & \operatorname{Id}_n\\-\operatorname{Id}_n & 0\end{bmatrix}$ 且 $A:t\mapsto A(t)$ 在对称的 $2n\times2n$ 实矩阵空间中连续。在一定的凸性假设下（包括 $A(t)$ 对所有 $t\in\mathbb{R}$ 严格正定的特殊情况），我们研究了当 $t$ 变化时 $\gamma(t)$ 特征值的动力学，这与这类哈密顿动力系统的稳定性密切相关。我们严格证明了特征值分支的定性行为，并明确给出了特征值的一阶渐近展开。这推广了关于哈密顿量线性扰动下 Floquet 乘子解析分支的经典 Krein-Lyubarskii 定理。作为推论，我们给出了 Ekeland 以下陈述的严格证明：$\{t\in\mathbb{R}:\gamma(t)\text{ 具有一个模为 }1\text{ 的 Krein 不定特征值}\}$ 是一个离散集。