自伴矩阵的等变性质

我们研究自伴矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n,n}$ 的等变性质。特别地，我们证明一个矩阵是自伴的当且仅当它关于群 $\Gamma_2(A)\subset \mathbf{O}(n)$（同构于 $\otimes_{k=1}^n\mathbf{Z}_2$）的作用等变。若自伴矩阵具有多重特征值——例如这可能由底层动力系统的对称性质所诱导——则 $A$ 甚至关于群 $\Gamma(A) \simeq \prod_{i = 1}^k \mathbf{O}(m_i)$ 的作用等变，其中 $m_1,\ldots,m_k$ 是 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ 的重数。我们讨论该结果对等变分岔问题的意义，并简要论述其在 Procrustes 问题、图对称与泰勒展开中的进一步应用。