立方振子的谱

我们证明了立方振子哈密顿量 $H(\beta)=-d^2/dx^2+x^2+i\sqrt{\beta}x^3$ 的本征值在割平面 $\C_c:=\C\backslash (-\infty, 0)$ 内对于 $\beta$ 的简单性和解析性。此外，我们证明了谱由微扰本征值 $\{E_n(\beta)\}_{n\geq 0}$ 组成，这些本征值由相应本征函数的节点常数 $n$ 标记。另外，对于所有 $\beta\in\C_c$，$E_n(\beta)$ 可计算为其在 $\beta=0$ 处的微扰级数的 Stieltjes-Padé 和。这也提供了另一种证明，即当 $\beta$ 为正数时，$H(\beta)$ 的谱是实的。通过这种方式，关于排斥 PT 对称振子和吸引四次振子的主要结果被推广到了立方情形。