竖直重力下水平平直喷管内稳态等温 Euler 流跨声速激波的可容许位置

本文研究竖直重力下水平平直喷管内二维稳态等温 Euler 流的跨声速激波的存在性。我们特别关注竖直重力在确定激波阵面位置中的作用。对于稳态水平流，可轻易建立激波阵面在喷管内位置任意的正激波的存在性。本文将试图在喷管入口处流动状态与出口处压力受到微小扰动时，确定激波阵面的位置。为此，本文提出一个带竖直重力的线性化 Euler 系统的自由边界问题，其解可作为激波解的初值近似，其中自由边界为激波阵面的近似。由于竖直重力的存在，在激波阵面后近似亚声速域内求解该边值问题出现困难。线性化 Euler 系统对亚声速流为椭圆-双曲复合型，其椭圆部分与双曲部分在依赖于重力加速度 $g$ 的 $0$ 阶项上耦合。此外，由于未扰动激波解依赖于竖直变量，系数非常数。本文发展了处理这些困难的新思想与新技术，并在扰动的某些充分条件下，建立了当重力加速度 $g>0$ 且扰动充分小时所提自由边界问题解的存在性。进而，利用所得激波解的初值近似，可构造非线性迭代格式，得到激波阵面位置接近初始近似位置的跨声速激波解。