关于自由乘法卷积下的一族 remarkable 同态半群

令 M 表示实直线上的博雷尔概率测度空间。对于每个非负的 t，我们考虑变换 $\mathbb B_t : M \to M$，其针对 M 中任意给定元素定义为：先对该元素相继取关于自由加法卷积的 (1+t) 次幂，再取关于布尔卷积的 1/(1+t) 次幂。我们证明映射族 {\mathbb B_t|t\geq 0} 关于复合运算构成一个半群，并且相当令人惊讶的是，每个 $\mathbb B_t$ 都是自由乘法卷积运算下的同态。我们证明对于 t=1，变换 $\mathbb B_1$ 与 Bercovici 和 Pata 在研究自由概率与布尔概率中无穷可分性关系时所发现的典范双射 $\mathbb B : M \to M_{inf-div}$ 一致。此处 M_{inf-div} 表示 M 中关于自由加法卷积无穷可分的那些概率分布组成的集合。作为推论，我们有对于任意 $\mu\in M$ 和任意 t≥1，$\mathbb B_t(\mu)$ 关于自由加法卷积是无穷可分的。另一方面，我们指出了变换 $\mathbb B_t$ 与自由布朗运动之间的关系；事实上，本文的定理 4 给出了将变换 $\mathbb B_t$ 重新表述为自由布朗运动的一种解释，其中所得过程关于自由乘法卷积成为乘法的，并且总在时刻 t=1 达到关于自由加法卷积的无穷可分性。