自由加法卷积的正则化:方形与矩形情形

自由卷积是实数轴上概率测度集合上的二元运算,利用它可由各独立酉不变方形随机矩阵之和的个体谱分布推得其谱分布,也可在非交换概率空间中由各自由算子之和的个体谱分布推得其谱分布。类似地,矩形自由卷积可由各独立酉不变矩形随机矩阵之和的个体奇异值分布推得其奇异值分布。本文考察这些自由卷积在整个实数轴上的正则化性质。具体而言,我们试图寻找概率测度的连续半群 $(\mu_t)$,使得 $\mu_0$ 为零点的 Dirac 测度,并且对所有正数 $t$ 与所有概率测度 $\nu$,$\mu_t$ 与 $\nu$ 的自由卷积(或在矩形情形下 $\mu_t$ 与 $\nu$ 的矩形自由卷积)关于 Lebesgue 测度绝对连续,且在整个实数轴上具有正的解析密度。在方形情形中,我们证明:在满足此性质的半群中,任何测度都不具有有限的二阶矩,并给出半群满足此性质的一个充分条件及若干例子。在矩形情形中,我们证明:在大多数情况下,对连续矩形卷积半群中的 $\mu$,$\mu$ 与 $\nu$ 的矩形卷积要么在原点处有原子,要么在原点的某邻域内不赋予任何质量,因此所期望的性质不成立。然而,我们给出了使 $\mu$ 与 $\nu$ 的矩形卷积的密度除一个可忽略点集外具有解析性的充分条件,以及处处存在连续密度的充分条件。