与加性和乘性、自由和布尔卷积相关的半群

Belinschi和Nica在概率测度集上引入了一个复合半群。利用该半群，他们引入了自由可除性指标，由此可以判断一个概率测度是否是自由无穷可分的。在本文中，我们进一步研究了该指标，引入了其乘性版本，并展示了其诸多性质。具体而言，在论文的前半部分，我们计算了该指标如何随自由幂和布尔幂变化；我们证明了自由和布尔1/2-稳定律的自由可除性指标等于无穷大；我们导出了该指标关于Jacobi参数的上界。该上界仅被自由Meixner分布所达到。我们还证明了Bozejko的猜想，即如果概率测度μ是自由无穷可分的，则其0 < t < 1的布尔幂也是自由无穷可分的。在论文的后半部分，我们为乘性卷积引入了类似的复合半群，并定义了这些卷积的自由可除性指标。此外，我们证明了单位圆上的概率测度关于乘性自由卷积是自由无穷可分的，当且仅当该指标不小于1。我们还证明了乘性可除性指标在自由幂和布尔幂下如何变化，进而证明了乘性情形下Bozejko的猜想。我们包含了一个附录，其中证明了Cauchy分布和点测度是布尔到自由Bercovici-Pata双射仅有的不动点。