关于Sárközy的一个乘积序列间隙问题

受Sárközy一个问题的启发，我们研究了当集合 $\A$ 具有上Banach密度 $\alpha>0$ 时，乘积序列 $\B=\A ... \A=\{b_n=a_ia_j, a_i,a_j\in \A\}$ 中的间隙。我们证明存在无穷多个间隙 $b_{n+1}-b_n\ll \alpha^{-3}$，并且对于 $t\ge2$，存在无穷多个 $t$-间隙 $b_{n+t}-b_{n}\ll t^2\alpha^{-4}$。此外，我们证明这些估计是最优的。我们还讨论了一个相关问题，即当 $\A\subset\{1,..., N\}$ 且 $|\A|=\alpha N$ 时，商集 $\A/\A=\{a_i/a_j, a_i,a_j\in \A\}$ 的基数。