群扩张中包含乘积集的可定义集

我们考虑一阶群扩张中可定义集何时包含两无限集之积的问题（我们称之为“乘积集性质”）。我们首先证明，对于离散顺从群扩张的任意可定义子集 $A$，若 $A$ 具有正巴拿赫密度且公式 $x\cdot y\in A$ 是稳定的，则乘积集性质成立。对于任意群扩张，我们考虑乘积集性质的“单侧”版本，并利用余遗传独立性以多种方式刻画之。对于稳定群，乘积集性质等价于该单侧版本，并作为可定义集的一种“大性”概念，其可由模型论一般性的自然弱化来刻画。最后，我们利用远域理论中正则引理的近期工作，证明了对某些顺从群的远域扩张中可定义的正巴拿赫密度集，存在乘积集性质的可定义版本。