关于 Külshammer 提出的有限群在约化群中表示的问题

设 $G$ 是特征为 $2$ 的代数闭域上 $G_2$ 型单代数群。我们给出一个有限群 $\Gamma$ 及其 Sylow $2$-子群 $\Gamma_2$ 的例子，以及一族两两不共轭的同态 $\rho\colon \Gamma\rightarrow G$，它们到 $\Gamma_2$ 的限制均共轭。这回答了 Burkhard Külshammer 于 1995 年提出的一个问题。我们还给出 $\Gamma$ 在连通幂零群 $V$ 上的一个作用，使得由 1-余循环限制诱导的 1-上同调映射 ${\rm H}^1(\Gamma,V)\rightarrow {\rm H}^1(\Gamma_p,V)$ 具有无限纤维。