关于 Erdős 一个关于双随机矩阵问题的探讨

在 Marcus 与 Ree（1959）的一篇著名论文中，已证明若 $A=[a_{ij}]$ 是一个 $n \times n$ 双随机矩阵，则存在置换 $\sigma \in S_n$ 使得 $\sum_{i,j=1}^{n} a_{i,j}^{2} \leq \sum_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$。Erdős 问哪些双随机矩阵使该不等式取等号。尽管 Marcus 与 Ree 对该解集合提供了一些见解，此问题似乎已被遗忘。我们的目标是在 $n=3$ 这一特殊但非平凡的情形下给出完整解答。