斯坦文-威尔夫极限与符尔德-赫尔纳极限之间的二次关系

对于一个排列矩阵 $P$，记 $s_P$ 为其斯坦文-威尔夫极限，即 $n\times n$ 排列矩阵避免 $P$ 的个数的指数增长率。记 $c_P$ 为其符尔德-赫尔纳极限，即 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \text{ex}(n,P)/n$ 的极限，其中 $\text{ex}(n,P)$ 是最大化 $n\times n$ 0-1 矩阵避免 $P$ 中 1 的个数。Cibulka 证明了普遍的二次上界 $s_P\leq 2.88\,c_P^2$。本文通过一种称为“块压缩”的论证，改进了 Cibulka 结果中的常数。定义 $$F(c)=\inf_{t\in\mathbb{N}} \frac{(t!)^{1/t}\,15^{\,c/t}}{c},$$ 对 $c>0$，这导致我们得到修订后的不等式 $s_P\leq F(c_P)\,c_P^2$。特别地，$F(c)=\log 15+o(1) \approx 2.70805\ldots +o(1)$ 当 $c\to\infty$，当 $c_P \geq 17$ 时常数改进了 $2.88$。