排列的弗勒迪-哈伊纳尔极限的更优上界

二元矩阵是指元素取自集合 $\{0,1\}$ 的矩阵。若二元矩阵 $S$ 可通过从二元矩阵 $A$ 中删除若干行、若干列并将某些 $1$-元素改为 $0$-元素而得到，则称 $A$ 包含 $S$。若 $A$ 不包含 $S$，则称 $A$ 避免 $S$。$k$-置换矩阵 $P$ 是一个二元 $k \times k$ 矩阵，其每行每列恰有一个 $1$-元素。由 Marcus 和 Tardos 证明的弗勒迪-哈伊纳尔猜想指出：对每个置换矩阵 $P$，存在常数 $c_P$，使得对任意 $n \in \mathbb{N}$，每个含有至少 $c_P n$ 个 $1$-元素的 $n \times n$ 二元矩阵 $A$ 均包含 $P$。我们证明对随机 $k$-置换矩阵 $P$，渐近几乎必然有 $c_P \le 2^{O(k^{2/3}\log^{7/3}k / (\log\log k)^{1/3})}$。我们还证明对每个 $k$-置换矩阵 $P$ 有 $c_P \le 2^{(4+o(1))k}$，改进了 Fox 近期给出的 $c_P$ 上界指数中的常数。此外，我们根据斯坦利-沃尔夫极限 $s_P$ 改进了 $c_P$ 的上界为 $c_P \le O\big(s_P^{2.75} \log s_P\big)$。我们还考虑了斯坦利-沃尔夫猜想的高维推广，即关于避免固定 $d$ 维 $k$-置换矩阵的 $d$ 维 $n$-置换矩阵数目，并分别证明了形式为 $(2^k)^{O(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)}$ 与 $n^{-O(k)} k^{\Omega(n)} \cdot (n!)^{d-1-1/(d-1)}$ 的近乎匹配的上界与下界。