1324 及其他分层模式的 Stanley-Wilf 极限的上界

我们证明，任意长度为 $\ell$ 的分层排列模式的 Stanley-Wilf 极限至多为 $4\ell^2$，且模式 1324 的 Stanley-Wilf 极限至多为 16。这些界源自一个更一般的结果，该结果表明，避免某种特殊形式模式的排列是两个排列的合并，其中每个排列都避免一个更小的模式。如果关于长度为 $\ell$ 的模式的最大 Stanley-Wilf 极限由分层模式达到的猜想成立，那么这意味着任意长度为 $\ell$ 的模式的 Stanley-Wilf 极限的上界为 $4\ell^2$。我们还猜想，对于任意 $k\ge 0$，具有 $k$ 个逆序的 1324-避免排列的集合中，长度为 $n+1$ 的排列数量至少与长度为 $n$ 的排列数量一样多。我们证明，如果该猜想成立，那么 1324 的 Stanley-Wilf 极限至多为 $e^{\pi\sqrt{2/3}} \simeq 13.001954$。