关于与正态乘积分布相关的新 Sheffer 多项式类

考虑第二 Wiener 混沌中的一个一般随机元 $F_\infty= \sum_{\text{finite}} \lambda_k (N^2_k -1)$，其在谱表示中具有有限个非零系数，其中 $(N_k)_{k \ge 1}$ 是 i.i.d $\mathscr{N}(0,1)$ 序列。利用最近发现的（见 Arras 等人 \cite{a-a-p-s-stein}）与 $F_\infty$ 相关的 Stein 算子 $\RR_\infty$，我们引入一类新多项式 $$\PP_\infty:= \{ P_n = \RR^n_\infty \textbf{1} \, : \, n \ge 1 \}.$$ 我们详细分析 $F_\infty$ 分布为正态乘积分布 $N_1 \times N_2$ 的情形，并通过证明其为一个 Sheffer 族且具备许多有趣性质，将相关多项式类与 Rota 的 Umbral 演算联系起来。最后，我们研究多项式类 $\PP_\infty$ 与第二 Wiener 混沌内非中心概率极限定理之间的联系。