关于不定 Sturm-Liouville 问题 Riesz 基性质的一个必要条件

1996 年，H. Volkmer 观察到，如果不定 Sturm-Liouville 问题$$-y"=\lambda\, r(x)y,\quad y(-1)=y(1)=0$$的特征函数构成 Hilbert 空间 $L^2_{|r|}(-1,1)$ 的 Riesz 基，则对于 $[-1,1]$ 上的某类函数 $f$，不等式$$(\int_{-1}^1\frac{1}{|r|}|f'|dx)^2 \le K^2 \int_{-1}^1|f|^2dx\int_{-1}^1\Big|\Big(\frac{1}{r}f'\Big)'\Big|^2dx$$对某个正常数 $K>0$ 成立。此处假设权函数 $r\in L^1(-1,1)$ 在 $[-1,1]$ 上几乎处处满足 $xr(x)>0$。我们提出了两个基于 Weyl-Titchmarsh $m$-函数的准则，以判定 Volkmer 不等式是否成立。利用这些结果，我们证明了如果与谱问题相关联的算子满足线性预解式增长条件，则该不等式成立。特别地，我们证明了当 $r$ 为奇函数时，特征函数的 Riesz 基性质等价于线性预解式增长。