关于水动力学极限下行动最小集体动力学的 Hamilton-Jacobi PDE 理论

我们建立了用于一类 Hamilton-Jacobi PDE 的多尺度收敛理论，这些 PDE 来源于 N 粒子确定性动作最小化（全局）Lagrangian 动力学的水动力学极限语境。从 Lagrangian 视角，这也可以视为动作最小化概率测度值路径的二维尺度收敛结果。然而，我们主要关注哈密顿量形式。在我们推导和研究其关联的抽象但标量 Hamilton-Jacobi 方程时，这些方程定义在概率测度的空间中。这些方程中存在无限维的奇异平均结构。我们发展了一种间接变分方法，以将有限维弱 K.A.M. 理论应用于此类无限维设置。通过弱相互作用粒子假设，平均步骤仅涉及单个粒子的平均，这在弱 K.A.M. 理论下被隐式但严格地处理。因此，我们通过识别限制哈密顿量来闭合上述平均步骤，并在概率测度空间中的非线性 PDE 解上取得严格的收敛结果。在论文的技术发展部分，我们构思了关于状态空间中子测度结构方程投影的新的粘性解技术，针对度量空间中某些抽象 Hamilton-Jacobi 方程的多尺度收敛，以及概率测度空间中方程的比较原理。我们考虑的概率测度空间是具有下界曲率的 Alexandrov 度量空间的特例。由于某些结果在此度量空间设置下解释得更好，我们也发展了一些独有兴趣的通用技术。