关于一族多变量对称超几何函数及其 Euler 型积分表示

本文致力于研究任意有限个变量的超几何级数族 $\{G_n\}$，其系数为多项式系数 $(\ell_1+...+\ell_n)!/(\ell_1!...\ell_n!)$ 的平方，其中 $n\in\ZZ_{\ge 1}$。所有这些级数均属于一般的 Appell-Lauricella 级数族。本文证明了每个函数 $G_n$ 均可通过包含前一个函数 $G_{n-1}$ 的积分来表达。因此，该族函数可由多维 Euler 型积分表示，这暗示了其与 Gelfand-Kapranov-Zelevinsky 的 $A$-超几何系统理论或 Aomoto 的超度量函数理论之间存在某种显式联系。本文还确立了每个函数 $G_n$ 关于 $\CC^{*n}$ 上有限个对合作用的不变性。最后，特别关注了对函数 $G_2$ 和 $G_3$ 的研究，证明了它们各自是代数的，或者可以用第一类 Legendre 椭圆函数表示。