超几何 $\tau$-函数、Hurwitz 数及路径枚举

一类多参数的双曲型 2D Toda $\tau$-函数被证明可为复合带符号 Hurwitz 数提供生成函数，这些 Hurwitz 数枚举了黎曼球面的某些分支覆盖类以及 $S_n$ 凯莱图中的路径。其在两组 Toda 流参数的幂和对称函数乘积 $P_\mu P'_\nu$ 及 $l+m$ 个辅助参数幂次上的级数展开系数 $F^{c_1, ..., c_l}_{d_1, ..., d_m}(\mu, \nu)$，被证明枚举了黎曼球面上 $|\mu|=|\nu|=n$ 重分支覆盖，其在两定点处具有指定的分支型 $\mu$ 和 $\nu$，并满足关于其分支型长度的特定附加条件的两组额外分支点。第一组由 $l$ 个分支点组成，其分支型长度固定为 $(n-c_1, ..., n- c_l)$；第二组由 $m$ 个进一步的“着色”分支点群组成，数量可变，其群内分支型长度补数之和固定为 $(d_1, ..., d_m)$。后者的计数带有由此类分支点总数的奇偶性决定的符号。系数 $F^{c_1, ..., c_l}_{d_1, ..., d_m}(\mu, \nu)$ 还被证明枚举了对称群 $S_n$ 凯莱图中由对换生成的路径，起点为循环型 $\mu$ 共轭类中的元素，终点为型 $\nu$ 的类（如同通常的双重 Hurwitz 情形），但前 $l$ 个连续子序列的 $(c_1, ..., c_l)$ 次对换严格单调递增，而随后的 $(d_1, ..., d_m)$ 次对换子序列弱单调递增。