八元数、迹动力学与非交换几何：自发量子引力中统一的例证

我们最近基于迹动力学理论提出了普朗克尺度上的新矩阵动力学。这是一种拉格朗日动力学，其中矩阵自由度由格拉斯曼数构成，拉格朗日量为矩阵多项式的迹。由格拉斯曼代数偶次元构成的矩阵称为玻色型，由奇次元构成的称为费米型：它们共同描述一个“aikyon”。在本文中，我们给出该矩阵动力学中自旋角动量的基本定义，并引入与玻色子（费米子）自旋共轭的玻色型（费米型）构型变量。然后我们证明，在低于普朗克尺度的能量下，矩阵动力学退化为量子理论，费米子具有半整数自旋（以普朗克常数为单位），玻色子具有整数自旋。我们还证明该自旋定义与相对论量子力学中自旋的传统理解一致。由此，我们获得了自旋-统计联系的初等等价证明。接着我们阐明为何八元数空间是 aikyon 演化的自然空间。该空间的自同构群是例外李群 $G_2$，它有十四个生成元[它们能否代表十二个矢量玻色子和引力子的两个自由度？]。aikyon 也类似于闭弦，文献中已提出 10 维弦论可表示为 8 维八元数空间中的 2 维弦。从 Cohl Furey 等人的工作已知，由四个除法代数[实数、复数、四元数和八元数]构成的 Dixon 代数可能描述标准模型的对称性。在本文中我们概述了 Dixon 代数如何在我们的工作中自然出现，并可能导致引力与标准模型的统一。