面向半线性椭圆问题多解求解的时空高指数鞍点动力学数值分析
数值分析
2026-01-14 v1 数值分析
摘要
本文提出了一套严格的数值框架，用于计算半线性椭圆问题的多个解，通过时空高指数鞍点动力学 (HiSD) 实现，将传统 HiSD 扩展至连续空间设置，显式包含空间微分算子。为强制执行斯特弗维尔流形约束，又避免引入基于重映射更新的解析复杂性，我们设计了一种全离散、无重映射的正交性保维方案，用于时空 HiSD。该方案展现出有利的结构特性，显著降低了时空 HiSD 中耦合与梯度非线性所致的难题。利用这些特性，我们建立了梯度稳定性和误差估计，从而确保计算得到的鞍点保持 Morse 指数。该框架进一步扩展至半线性对流-反应-扩散方程。数值实验表明，所提方法在寻找多个解和构建半线性椭圆问题解景观方面具有高效性能。迄今为止，我们工作的唯一之处在于对 HiSD 系统提供首个严格的完整空间-时间精度分析。它揭示了鞍点搜索算法与偏微分方程数值方法之间的内在联系，增强了两者在广泛问题范围内的相互兼容性。
引用
@article{arxiv.2601.08188,
title = {Numerical analysis of spatiotemporal high-index saddle dynamics for finding multiple solutions of semilinear elliptic problems},
author = {Lei Zhang and Xiangcheng Zheng and Shangqin Zhu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.08188},
year = {2026}
}