Nehari 流形优化及其在寻找半线性椭圆型 PDE 不稳定解中的应用

引入了一种 Nehari 流形优化方法（NMOM），用于寻找 Hilbert 空间中一般非线性泛函的 1-鞍点，即 Morse 指数等于一的鞍点。实际上，它基于变分特征，即该泛函的 1-鞍点是其限制在相关 Nehari 流形上的同一泛函的局部极小值。该框架包含两个重要组成部分：一是收缩映射，使迭代点始终位于 Nehari 流形上；二是切向搜索方向，通过合适的步长搜索规则来降低泛函值。特别是，通过一些关键的分析技巧（包括弱收敛方法），严格建立了全局收敛性，克服了无限维环境中的困难。在实践中，结合易于实现的 Nehari 收缩和负 Riemannian 梯度方向，NMOM 被成功应用于计算一类典型半线性椭圆型 PDE 的不稳定基态解，如稳态非线性 Schrödinger 方程和 Hénon 方程。特别地，在 1D 和 2D 中数值探索了 Hénon 方程基态的对称破缺现象，并报告了关于对称破缺临界值的有趣数值发现。