退化临界流形上高指标鞍点动力学的收敛性
数值分析
2026-02-03 v1 数值分析
摘要
高指标鞍点动力学(HiSD)方法为寻找鞍点和构建解景观提供了强大的框架。虽然该方法最初推导用于非退化临界点，但HiSD在退化情况下展现了实证成功，其中Hessian矩阵具有零特征值。然而，针对退化鞍点的HiSD的数学和数值分析尚未探讨。本文利用Morse-Bott函数，对HiSD用于计算临界流形上的退化鞍点进行严格分析。我们证明了连续HiSD的局部收敛性，并建立了离散HiSD算法的线性收敛率。此外，我们提供了关于梯度对齐倾向性的理论解释，揭示了梯度方向在渐进意义上与特定Hessian特征向量对齐。我们的分析也阐明了在退化鞍点情境下选择HiSD指数的灵活性。我们通过在神经网络损失景观上的数值实验验证了分析结果，表明动量加速的HiSD变体能够快速收敛到退化鞍点。
引用
@article{arxiv.2602.01883,
title = {Convergence of high-index saddle dynamics for degenerate saddle points on critical manifolds},
author = {Tao Luo and Jianyuan Yin and Lei Zhang and Shixue Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.01883},
year = {2026}
}