一种具有收敛保证的随机寻找鞍点算法

鞍点提供了能量景观的分层视图，揭示了转移路径和相互关联的吸引子范畴，为理解底层系统的全局结构、稳定性以及可能的集体机制提供了洞见。本文提出一种随机鞍点搜索算法，以规避传统和确定性鞍点动力学中对精确导数和 Hessian 评估的要求。在每一次迭代中，该算法基于随机 Hessian 使用随机特征向量搜索方法来逼近不稳定方向，然后通过在近似不稳定方向上的反射随机梯度更新，以前进至鞍点。我们进行严格的数值分析，建立随机特征向量搜索的几乎必然收敛性，并为鞍点搜索证明局部几乎必然收敛具有 $O(1/n)$ 收敛率，同时提出理论保证，确保在初始点足够接近时，鞍点能够以高概率被识别。数值实验，包括应用于神经网络损失景观和范德-德-戈纳类型液晶模型，表明该方法在实际中具有可行性，能够帮助算法摆脱“差异”区域。