通过半维里自由几何研究 $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$ 上聚焦 NLS 的归一化基态与阈值散射

我们研究波导流形 $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$ 上的聚焦 NLS \begin{align}\label{nls_abstract} i\partial_t u+\Delta_{x,y} u=-|u|^\alpha u\tag{NLS} \end{align} 在临界间区域 $\alpha\in(\frac{4}{d},\frac{4}{d-1})$ 中的情形。通过假设 \eqref{nls_abstract} 与 $y$ 无关，它退化为 $\mathbb{R}^d$ 上的聚焦临界间 NLS，已知其具有驻波与有限时间爆破解。自然地，我们询问是否存在具有非平凡 $y$ 依赖的这些特殊解。在本文中我们对此问题给出肯定回答。为此，我们引入\textit{半维里}泛函的概念，并在具有给定质量 $c$ 的半维里消失流形上考虑极小化问题 $m_c$。我们证明对任意 $c\in(0,\infty)$，变分问题 $m_c$ 具有基态极小元 $u_c$，它也求解驻波方程 $$-\Delta_{x,y}u_c+\beta_c u_c=|u|^\alpha u$$ 其中某个 $\beta_c>0$。此外，我们证明存在临界数 $c_*\in(0,\infty)$ 使得 \begin{itemize} \item 对 $c\in(0,c_*)$，任意 $m_c$ 的极小元 $u_c$ 必满足 $\pt_y u_c\neq 0$。 \item 对 $c\in(c_*,\infty)$，任意 $m_c$ 的极小元 $u_c$ 必满足 $\pt_y u_c=0$。 \end{itemize} 最后，我们证明先前构造的基态刻画了依赖于半维里符号的散射与有限时间爆破解分岔的尖锐阈值。