DSER 基本正交群的正规性

设 $(Q, q)$ 是交换环 $R$ 上的一个二次空间，其中 $2$ 可逆，并考虑正交群 $O_R(Q \perp H(R)^m)$ 的 Dickson–Siegel–Eichler–Roy 子群 $EO_{R}(Q, H(R)^{m})$，其中 $Q$ 的秩为 $n \geq 1$ 且 $m\geq 2$。我们证明，对于所有 $m\geq 2$，$EO_{R}(Q, H(R)^{m})$ 是 $O_R(Q \perp H(R)^m)$ 的正规子群。我们还证明，DSER 群 $EO_{R}(Q, H(P))$ 是 $O_{R}(Q \perp H(P))$ 的正规子群，其中 $Q$ 和 $H(P)$ 是交换环 $R$ 上的二次空间，且 $Q$ 的秩 $\ge 1$，$P$ 的秩 $\ge 2$。