Schwarzschild 背景上 Maxwell-Born-Infeld 系统的非线性稳定性

本文证明了在固定 Schwarzschild 背景上 Maxwell-Born-Infeld (MBI) 系统解的小数据整体存在性。该系统出现在弦理论的背景下，由于其张量与拟线性特性，可被视为背景度量本身稳定性的非线性模型问题。MBI 系统对非线性电磁学进行建模，且不表现出双折射。我们证明的关键在于观察到，存在一阶微分变换将场极值分量所满足的自旋 $\pm 1$ Teukolsky 方程的解，转化为一个“好”方程（Fackerell-Ipser 方程）的解。这一策略在 [F. Pasqualotto, The spin $\pm 1$ Teukolsky equations and the Maxwell system on Schwarzschild, Annales Henri Poincar\'e, 20(4):1263-1323, 2019, arXiv:1612.07244] 中已针对 Schwarzschild 上的线性 Maxwell 场建立。我们表明，在固定 Schwarzschild 背景上 MBI 系统也成立类似的 Fackerell-Ipser 方程，但它们是非线性耦合的。为了本质上解耦这些右端项，我们设置了自举论证。我们使用 Dafermos 和 Rodnianski 在 [M. Dafermos and I. Rodnianski, A new physical-space approach to decay for the wave equation with applications to black hole spacetimes, in XVIth International Congress on Mathematical Physics, Pavel Exner ed., Prague 2009 pp. 421-433, 2009, arXiv:0910.4957] 中提出的 $r^p$ 方法来推导部分零分量的衰减，并通过将 MBI 系统作为输运方程进行积分来推断其余量的衰减。