非交换有限维流形 I：球面流形及相关例子

我们给出大量非交换有限维流形的例子，它们是经典流形的（非形式）形变。本文的主要结果是对非交换三维球面流形的完全描述，这是通过基本 K 理论方程定义的球面 $S^3$ 的非交换版本。我们找到了标准三维球面 $S^3$ 的一个 3 参数形变族 $S^3_{\mathbf{u}}$ 以及相应的 4 维欧几里得空间 $\mathbb R^4$ 的 3 参数形变。对于形变参数的泛值，我们证明在形变后的 $\mathbb R^4_{\mathbf{u}}$ 上得到的多项式代数仅依赖于两个参数，并且同构于 Sklyanin 在 Yang-Baxter 方程背景下引入的代数。由此可知不同的 $S^3_{\mathbf{u}}$ 可以张成同一个 $\mathbb R^4_{\mathbf{u}}$。这种等价性在参数空间 $\Sigma$ 上生成了一个叶状结构。该叶状结构容许约化到一点的奇异叶。这些临界点或是孤立的，或是落在两个 1 参数族 $C_{\pm}\subset \Sigma$ 中。除去取一个对合的不动点代数的简单操作外，这两个族是相同的，我们此处集中于 $C_{+}$。对于 $u \in C_{+}$，上述与 Sklyanin 代数的同构失效，相应的代数是 $\theta$-形变的特殊情形，我们将这一概念在任意维数与各种背景下推广，并作了细致研究。此处，且这一点是关键，维数并非人为产物，即并非经典模型的维数，而是相应代数的 Hochschild 维数，它在形变过程中保持恒定……