光滑射影曲面的非阿贝尔雅可比与表示论

本文研究了文献[R1]中引入的光滑复射影曲面$X$的非阿贝尔雅可比版本的表示论方面。确定了与非阿贝尔雅可比相关的约化李代数层$\bf\calG$，并将其李代数性质与$X$上点构型的几何性质显式关联。特别地，证明了$\bf\calG$的中心子层决定了构型到子构型不交并的一个特定分解。此外，展示了如何利用与$\bf\calG$中某些幂零元相关的$sl_2$-子代数，在适当的射影空间中写出定义$X$上构型的方程。利用相同的幂零元，建立了非阿贝尔雅可比与表示论中基本对象（如$A_n$型单李代数的幂零轨道、Springer分解和Springer纤维）的关系（对于适当的$n$值）。这导致了对称群表示范畴以及$X$的适当Hilbert概形上的反常层范畴中特定对象集合的构造。因此，给出了光滑射影曲面上秩2向量丛的第二陈类的两种分类方式。我们还通过将非阿贝尔雅可比与$SL_n(\bf C)$型单李群的无穷格拉斯曼流形（对于适当的$n$值）相关联，给出了上述构造的“圈”版本。这通过Satake同构的几何版本，给出了Langlands对偶群的一类特定不可约表示，从而表明了非阿贝尔雅可比与光滑射影曲面的Langlands对偶性的关系。