Jacobian 代数与标记曲面簇范畴中的扩张

在有限维代数的表示论背景下，串代数（string algebras）已被广泛研究，其表示论的大多数方面已得到充分理解。唯一的例外是不可分解模之间扩张的分类。本文显式描述了一类串代数（即与曲面三角剖分相关联的 gentle 代数）的此类扩张。这些代数作为无孔曲面的 Jacobian 代数而出现。我们将不可分解模的扩张空间与曲面上弧的交叉联系起来，并在几乎所有情况下给出了不可分解模扩张空间的显式基。我们证明了这些扩张空间的维数由曲面上交叉弧的项给出。我们的方法是新的，包括将蛇形图（snake graphs）解释为不可分解模。为了证明我们的基是生成集，我们需要在相关的簇范畴中工作，在那里我们显式计算扩张的中间项并给出其扩张空间的基。我们指出，并非簇范畴中的所有扩张都能产生 Jacobian 代数的扩张。