W-代数的非局域矩阵推广

在$m$阶普通线性微分算子空间$L = -d^m + U_1 d^{m-1} + U_2 d^{m-2} + \ldots + U_m$上，存在两种标准的辛（Hamilton）结构，即第一和第二Gelfand-Dikii括号。本文详细考虑了$U_k$为$n\times n$矩阵值函数的情形，并特别关注（更有趣的）第二Gelfand-Dikii括号。特别令人感兴趣的是约化到辛子流形$U_1=0$。这种约化产生了（经典版本的）{\it 非线性} $W_m$-代数的矩阵推广，称为$V_{m,n}$-代数。矩阵的非对易性导致了这些$V_{m,n}$-代数中的{\it 非局域}项。我证明了这些代数包含一个共形Virasoro子代数，并且可以构造$U_k$的组合$W_k$，它们是自旋为$k$的共形初级场的$n\times n$矩阵，与标量情形$n=1$类似。然而，一般来说，$V_{m,n}$-代数比$W_m$-代数具有更丰富的结构，这可以从$U_2$或$W_3$的任意两个矩阵元之间的{\it 非线性}和{\it 非局域}Poisson括号的例子中看出，我对其所有$m$和$n$都进行了显式计算。推导了一个矩阵Miura变换，将$U_k$的这些复杂的第二Gelfand-Dikii括号映射到一组更简单的Poisson括号，提供了$W_m$-代数自由场实现的类似物。