从经典力学视角看 Gelfand-Zeitlin 理论 II

在本文（两篇论文的第二部分）中，我们应用 [KW]（第一部分）的结果，借助显式对偶坐标系，为 M(n)（即 $n\times n$ 复矩阵代数）建立 Gelfand-Kirillov 定理的一个交换类比。M(n) 的函数域 F(n) 具有自然的 Poisson 结构，其精确类比是证明 F(n) 同构于一个 $n(n-1)$ 维相空间在 n 个变量的 Poisson 中心有理函数域上的函数域。相反，我们证明这对于 F(n) 的一个 Galois 扩张 $F(n, {\frak e})$ 成立。所用技术包括来自 Gelfand-Zeitlin 理论的极大 Poisson 交换函数代数、$n(n-1)/2$ 维环面在 $F(n, {\frak e})$ 上的代数作用，以及 M(n) 的 Zariski 开子集作为 $n(n-1)/2$ 维环面丛立于 $n(n+1)/2$ 维 Hessenberg 矩阵底空间之上的结构。