两个自由度下某些少体问题的不可积性

本文回顾了微分伽罗瓦基本理论，特别是 Morales--Ramis 理论，重点分析天体力学中各类少体问题的不可积性。主要理论工具包括：Morales--Ramis 定理、Acosta--Bl\'azquez 代数化方法以及 Kovacic 算法。Morales--Ramis 理论指出，若哈密顿系统在特定解的某邻域内存在一个额外的对合亚纯积分，则法向变分方程的微分伽罗瓦群是阿贝尔群。代数化方法允许在一般条件下将变分方程转化为适合用 Kovacic 算法分析的形式。我们将这些工具应用于天体力学中少体问题的若干实例： 平面内主天体碰撞的椭圆限制性三体问题； 具有次数为 -1 的齐次势函数的二自由度一般哈密顿系统；在此我们执行 McGehee 爆破，并以超几何方程的形式得到法向变分方程。我们恢复了 Yoshida 的不可积性判据。随后，我们对比了计算伽罗瓦群的两种方法：基于 Schwartz--Kimura 表的著名方法，以及基于 Kovacic 算法的较少为人知的方法。我们将此方法应用于三个问题：矩形四体问题、各向异性开普勒问题以及直线上两个未耦合的开普勒问题；后两者依赖于一个质量参数，但在各向异性问题中仅当参数取两个特定值时可积，而两个未耦合的开普勒问题对所有质量值均完全可积。