非厄米径向动量算符与极坐标下的路径积分

Schr\"{o}dinger 方程的一个显著特征是，极坐标中的经典径向动量项$p_{r}^{2}$被算符$\hat{P}^{\dagger}_{r} \hat{P}_{r}$所取代，其中算符$\hat{P}_{r}$通常不是厄米的。这一事实对路径积分和半经典近似具有重要影响。当定义形式上的厄米径向动量算符$\hat{p}_{r}=(1/2)((\frac{\hat{\vec{x}}}{r}) \hat{\vec{p}}+\hat{\vec{p}}(\frac{\hat{\vec{x}}}{r}))$时，关系式$\hat{P}^{\dagger}_{r} \hat{P}_{r}=\hat{p}_{r}^{2}+\hbar^{2}(d-1)(d-3)/(4r^{2})$在$d$维空间中成立，且该额外势出现在极坐标表述的路径积分中。这一额外势会影响半经典处理（如孤子和集体模分析）中的经典解，它在$d=3$时消失，在$d=2$时为吸引势，而在所有其他情况$d\geq 4$下为排斥势。由非厄米算符诱导的这一额外项是纯粹的量子效应，在某种程度上类似于手征规范理论中的量子反常。