关于向量Sturm-Liouville算子的亏指数

令 $R_+ := [0, +\infty)$。假设 $n \times n$（$n \in \mathcal{N}$）矩阵函数 $P, Q$ 和 $R$ 定义于集合 $R_+$ 上，$P(x)$ 非退化，当 $x \in R_+$ 时 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 为厄米矩阵，且矩阵函数 $P^{-1}$、$Q$ 和 $R$ 的元素在 $R_+$ 上可测且在该集合的每个闭子区间上可积。本文研究由形式表达式 \begin{equation*} \label{trivial} l[f]=-(P(f^{\prime}-Rf))^{\prime}-R^*P(f^{\prime}-Rf)+Qf, \end{equation*} 在空间 $\mathcal {L}^2_n(R_+)$ 中生成的算子，以及作为特例，由形如 \begin{equation*} \label{2} l[f]=-(P_0f^{\prime})^{\prime}+i((Q_0f)^{\prime}+Q_0f^{\prime})+P^{\prime}_1f, \end{equation*} 的表达式生成的算子，其中导数按分布意义理解，且 $P_0, Q_0$ 和 $P_1$ 是具有Lebesgue可测元素的 $n \times n$ 厄米矩阵函数，使得 $P^{- 1}_0$ 存在且 $\|P_0 \|, \|P^{-1 }_0 \|, \|P^{-1}_0\| \|P_1\|^2,$ $\|P^{-1}_0\| \| Q_0\|^2 \in L^1_ {loc} (R_+)$。本文的主要目标是借助矩阵值函数 $P, \, Q$ 和 $R$（$P_0, \, Q_0$ 和 $P_1$）研究由表达式 $l[f]$ 在 $\mathcal{L}^2_n(R_+)$ 中生成的极小算子 $L_0$ 的亏指数。所得结果被应用于由 \begin{equation*} \label{p2} l[f]=-f^{\prime\prime}+ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} {\mathcal H}_k\delta(x-x_{k})f, \end{equation*} 生成的微分算子，其中 $x_k$（$k = 1,2, \ldots$）是正数的递增序列且 $\lim\limits_ {k \to +\infty} x_k = +\infty$，${\mathcal H}_k$ 是 $n \times n$ 数值厄米矩阵，$\delta(x)$ 是Dirac $\delta$ 函数。