基于强制算子分析的物理信息神经网络的非渐近稳定性与一致性保证
机器学习
2025-09-04 v2 数值分析
泛函分析
数值分析
摘要
我们提出了一个统一的理论框架，用于分析物理信息神经网络（PINNs）的稳定性和一致性，该框架基于算子强制性、变分表述和非渐近扰动理论。PINNs通过在采样配置点和边界点上最小化残差损失来逼近偏微分方程（PDE）的解。我们形式化了两层一致性概念——算子层面和变分层面——证明了在Sobolev范数中的残差最小化在温和正则性条件下会导致能量范数和一致范数中的收敛。确定性稳定性界限量化了网络输出中的有界扰动如何通过完整的复合损失传播，而通过McDiarmid不等式得到的概率集中结果则为基于残差的泛化提供了样本复杂度保证。一个统一的泛化界限将残差一致性、投影误差和扰动敏感性联系起来。在椭圆、抛物和非线性PDE上的经验结果证实了我们理论界限在各区域中的预测准确性。该框架识别了关键的结构原理，如算子强制性、激活平滑性和采样可容许性，这些原理支撑着鲁棒且可泛化的PINN训练，为PDE引导学习系统的设计与分析提供了原则性指导。
引用
@article{arxiv.2506.13554,
title = {Non-Asymptotic Stability and Consistency Guarantees for Physics-Informed Neural Networks via Coercive Operator Analysis},
author = {Ronald Katende},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.13554},
year = {2025}
}