物理信息神经网络的稳定性与收敛性研究
数值分析
2025-07-10 v2 数值分析
摘要
物理信息神经网络是一种利用神经网络逼近偏微分方程解的数值方法。它已受到广泛关注，目前被用于众多物理与工程问题。对这些方法的数学理解尚有限，尤其似乎缺乏一致的稳定性概念。为应对此问题，我们考虑偏微分方程的模型问题，即线性椭圆型和抛物型 PDE。受非线性变分法工具的启发，我们系统地表明能量的强制性及相应的紧致性为稳定性提供了一致框架。对于时间离散训练，我们证明若这些性质不成立，方法可能变得不稳定。此外，利用 -收敛工具，我们仅要求神经网络空间具备适当逼近性质，便给出了弱解的新收敛结果。尽管我们的分析受基于神经网络的逼近空间启发，此处发展的框架适用于任何满足相关逼近性质的离散函数类，因而可作为变分非线性 PDE 求解器更广泛研究的基础。
引用
@article{arxiv.2308.05423,
title = {On the Stability and Convergence of Physics Informed Neural Networks},
author = {Dimitrios Gazoulis and Ioannis Gkanis and Charalambos G. Makridakis},
journal= {arXiv preprint arXiv:2308.05423},
year = {2025}
}