物理信息神经网络及其有限差分变体的病态根源
数值分析
2026-01-13 v1 数值分析
摘要
基于自动微分(AD-PINNs)及其有限差分等价方法(FD-PINNs)的物理信息神经网络广泛用于求解偏微分方程(PDE)，然而其数学性质仍鲜有了解。本文提供了两种形式的统一数学基础。在激活函数满足一定光滑性条件且神网络深度至少为二、宽度足够时，我们证明AD-PINN与FD-PINN优化问题均为病态：若存在最小化解，则必然存在无数多个，无论选取何种插点或有限差分模板，唯一性均不成立。尽管如此，我们建立了两个结构性结论：第一，若原始PDE或其有限差分离散化问题存在解，则相应的AD-PINN或FD-PINN损失函数也必存在最小化解，可由有限宽度神经网络实现。第二，FD-PINNs与底层有限差分方案紧密耦合：所有FD-PINN最小化解在网格上均与有限差分最小化解一致；在离散PDE解唯一的情形下，所有零损失FD-PINN最小化解均与离散PDE解在差分模板上的取值完全相同。数值实验表明：FD-PINNs在典型正向和逆向问题中保持稳定，哪怕是AD-PINNs可能发散的情形；同时加入带噪数据的逆问题也显示FD-PINNs具备鲁棒性。总体而言，本文阐明了AD-PINNs的分析局限，解释了FD-PINNs更稳健行为的结构性原因。
引用
@article{arxiv.2601.07017,
title = {The Ill-Posed Foundations of Physics-Informed Neural Networks and Their Finite-Difference Variants},
author = {Andreas Langer},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.07017},
year = {2026}
}