基于 Auxiliary Finite-Difference Residual-Gradient Regularization 的 PINNs

Physics-informed neural networks (PINNs) 常常仅选择单个标量损失函数，尽管感兴趣的量更为具体。我们研究了一种混合设计：导数 PDE 残差保持基于自动微分 (AD) 的方式，而有限差分 (FD) 仅出现在惩罚残差场梯度的弱辅助项中。FD 项在不取代 PDE 残差本身的前提下，对残差场进行正则化。我们分为两个阶段来检验这一思路。阶段 1 是一个受控的泊松基准测试，比较基线 PINN、FD 残差梯度正则化器和匹配的 AD 残差梯度基线。阶段 2 将相同逻辑迁移到三维环形传热基准测试 (PINN3D)，其中基线误差在波浪形外墙附近集中，辅助网格实现为贴合该墙面的薄壳。阶段 1 中，FD 正则化器再现残差梯度控制的主要效果，同时暴露了场精度与残差干净程度之间的权衡。在阶段 2 中，薄壳正则化器改进了应用层面的关键量，即外墙通量和边界条件行为。在种子 0-5 和 100k 周期中，最可靠的配置为固定薄壳权重为 $5e-4$，采用 Kourkoutas-beta 优化器：相对于无薄壳项的匹配运行，外墙边界条件 RMSE 从 $1.22e-2$ 降至 $9.29e-4$，墙面通量 RMSE 从 $9.21e-3$ 降至 $9.63e-4$。Adam 在初始学习率降至 $1e-3$ 时可被使用，尽管其薄壳效益不如 Kourkoutas-beta 下的稳健性。总体而言，结果支持一种针对性的混合 PINN 观点：当辅助 FD 正则化器与感兴趣的物理量相吻合时（此处为外墙通量），其价值最高。