SSBE-PINN：一种提升椭圆/抛物型偏微分方程学习稳定性与精度的索博列夫边界方案
数值分析
2026-01-22 v2 数值分析
摘要
物理信息神经网络（PINN）已成为求解偏微分方程（PDE）的强大框架，但它们往往无法在 H1 范数下实现精确收敛，尤其是在存在边界逼近误差的情况下。在这项工作中，我们提出了一种名为索博列夫稳定边界强制（SSBE）的新方法，该方法使用索博列夫范数重新定义边界损失，将边界正则性直接纳入训练过程。我们提供了严格的理论分析，证明 SSBE 通过稳定性保证确保了有界的 H1 误差，并推导了表征其在有限样本情况下鲁棒性的泛化界。对线性和非线性 PDE（包括泊松方程、热方程和椭圆问题）的大量数值实验表明，即使在高维设置中，SSBE 在相对 L2 和 H1 误差方面也始终优于标准 PINN。所提出的方法为在基于神经网络的 PDE 求解器中提高梯度保真度和整体解精度提供了一种原则性和实用的解决方案。
引用
@article{arxiv.2508.10322,
title = {SSBE-PINN: A Sobolev Boundary Scheme Boosting Stability and Accuracy in Elliptic/Parabolic PDE Learning},
author = {Qixuan Zhou and Chuqi Chen and Tao Luo and Yang Xiang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.10322},
year = {2026}
}