高维中 Bartnik 数据的 NNSC-协边

在这篇短文中,我们提出三个与非负数量曲率(NNSC)填充相关的问题。粗略地说,前两个问题关注:何时 $(n-1)$ 维 Bartnik 数据 $\big(\Sigma_i ^{n-1}, \gamma_i, H_i\big)$, $i=1,2$, 是 NNSC-协边的?(即存在一个 $n$ 维紧致黎曼流形 $\big(\Omega^n, g\big)$,其数量曲率 $R(g)\geq 0$ 且边界 $\partial \Omega=\Sigma_{1} \cup \Sigma_{2}$,使得 $\gamma_i$ 为 $\Sigma_i ^{n-1}$ 上由 $g$ 诱导的度量,且 $H_i$ 为 $\Sigma_i$ 在 $\big(\Omega^n, g\big)$ 中的平均曲率)。若 $\big(\mathbb{S}^{n-1},\gamma_{\rm std},0\big)$ 与 $\big(\Sigma_1 ^{n-1}, \gamma_1, H_1\big)$ 为正数量曲率(PSC)协边,其中 $\big(\mathbb{S}^{n-1}, \gamma_{\rm std}\big)$ 表示标准单位圆球,则 $\big(\Sigma_1 ^{n-1}, \gamma_1, H_1\big)$ 容许一个 NNSC 填充。正如 Gromov 猜想与正质量定理相关联,我们的问题至少在 $n=3$ 的情形下与 Penrose 不等式相关联。我们的第三个问题关于下文定义的 $\Lambda\big(\Sigma^{n-1}, \gamma\big)$。