2、3 和 5 次 Tarry-Escott 问题的新解

本文我们得到了 2、3 和 5 次 Tarry-Escott 问题的新参数化理想解，即对于丢番图方程组 $\sum_{i=1}^{k+1}x_i^j=\sum_{i=1}^{k+1}y_i^j,\;j=1,\,2,\,\dots,\,k$，当 $k$ 为 2、3 或 5 时的解。当 $k=2$ 时，我们得到了用六个参数 $p, q, r, a, b$ 和 $c$ 的多项式表示的完全理想解，使得公共和 $\sigma_j=\sum_{i=1}^3x_i^j=\sum_{i=1}^3y_i^j$ 在 $j=1$ 和 $j=2$ 时均为参数 $p, q, r$ 的对称函数，也是参数 $a, b, c$ 的对称函数。当 $k=3$ 时，我们得到了用四个参数 $p, q, r$ 和 $s$ 的多项式表示的解，使得三个公共和 $\sigma_j= \sum_{i=1}^4x_i^j=\sum_{i=1}^4y_i^j, j=1, 2, 3$ 均为全部四个参数 $p, q, r$ 和 $s$ 的对称函数。当 $k=5$ 时，我们的解由 $k=2$ 时已得的解导出，且如 $k=2$ 或 3 情形所定义的公共和或为 0，或具有类似于 $k=2$ 情形的性质。