局部哈密顿流中 Birkhoff 积分偏差的新现象

我们考虑紧致曲面（亏格 $g\geq 2$）上的光滑局部哈密顿流，以证明其对光滑观测量的 Birkhoff 积分偏差。我们的工作推广了 Forni 与 Bufetov 的结果，他们证明了对于在流的固定点周围足够高阶射流消失的观测量，Birkhoff 积分偏差谱的存在性。他们表明遍历积分可展现幂律谱行为，具有恰好 $g$ 个正指数，这些指数关联于所谓 Kontsevich-Zorich 上循环的正 Lyapunov 指数——该上循环是平移曲面模空间一个层上 Teichmüller 流的重整化上循环。本文将对遍历积分偏差谱的研究扩展到观测量在固定点周围射流并非足够高阶消失的情形之外。我们证明了偏差谱中存在一些额外项，关联于观测量在固定点处导数的非零性。这一新现象的 proof 基于第一作者与 Ulcigrai 近期针对仅含（简单）非退化鞍点的局部哈密顿流所发展的工具。在完全一般性下，由于（多重）退化鞍点的出现，我们引入了在 IET 满测度集上处理具有多项式奇性函数的新方法。